开导！

导数的概念

瞬时变化率与导数

\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} 的真正含义：\Delta t 很小，比任何一个指定的正数都来的小。

类比平均速度，我们给出瞬时速度的定义： v = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}

把以上定义推广到函数上，我们记 y = f(x)，那么我们可以算出 y 对 x 的平均变化率 \frac{\Delta y}{\Delta x}。

而相对应的，我们可以提出 y 在 x_0 处的瞬时变化率 \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}。

那么导数是什么呢？我们定义

f^{\prime}(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

所以得到第一个定义：函数在某一个点的导数，就是函数在这一个点的瞬时变化率。

例1：求 f(x) = x^2 在 x = 3 的时候的导数。

\begin{aligned} f^{\prime}(3) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3)}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(3 + \Delta x)^2 - 3^2}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} 6 + \Delta x \\ &= 6 \end{aligned}

回顾上文，因为 \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} 小到可以忽略不计，所以最后答案是 6

结合图像理解，我们的平均变化率本质上是函数图像的割线的斜率，而瞬时变化率代表的是函数图像在这一点切线的斜率。我们很容易求出切线的方程。

如何求导？

导函数是比导数更强的，所以我们直接研究导函数的求导方法。

导函数的概念

让我们更抽象一点，我们不再固定某个特定的 x_0，而是让 x_0 同样成为一个变量，我们发现导数和自变量同样是一一对应的。这就提出我们的新概念：导函数。

我们定义 f(x) 的导函数 f^{\prime}(x)

f^{\prime}(x) = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

在实际教学中，我们并不会过多区分“导数”和“导函数”这两个概念。一般我们会说对某个函数求它的导数，这个时候实际上是在求它的导函数。但是我们心里要清楚，导数是一个数，导函数是一个函数，这俩是有本质差别的。本文会尽量严谨说明导数和导函数这两个概念。

导数恒等式

我们讨论经典的几类函数。

1. f(x) = c \rightarrow f^{\prime}(x)= 0

2. f(x) =x \rightarrow f^{\prime}(x)= 1

3. f(x) = x^2 \rightarrow f^{\prime}(x)= 2x

4. f(x) = x^3\rightarrow f^{\prime}(x)= 3x^2

   我们直接采用定义法进行推导：

   \begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} 3x^2 + 3x\Delta x+\Delta x^2 \\ &= 3x^2 \end{aligned}

5. f(x) = x^n \rightarrow f^{\prime}(x) = \binom{1}{n}x^{n-1} = nx^{n-1}

   我们考虑上边的推导过程带来的启发，我们只要考虑 (x+\Delta x)^n 展开后的第二项里 x 的次数与系数，那么显然根据二项式定理我们就有 f^{\prime}(x) = \binom{1}{n}x^{n-1} = nx^{n-1}.比较口诀的东西就是：把指数打下来，上边减一。

   这也启发我们处理高次函数的时候一种方法是对数，一种是导数。

6. f(x) = x^{\alpha} \rightarrow f^{\prime}(x) = \binom{1}{n}x^{\alpha-1} = nx^{\alpha-1}(\alpha \in \R)

   是上边的推广。

7. f(x) = \sin x \rightarrow f^{\prime}(x) = \cos x

   \begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin x(\cos\Delta x -1) + \cos x \sin \Delta x}{\Delta x}\\ \end{aligned}

   当 \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} 时候， \cos \Delta x \rightarrow 1,\sin\Delta x \rightarrow 0 .所以我们有

   \begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \cos x\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\ \end{aligned}

   理论上来说，我们有 \frac{\sin\Delta x}{\Delta x} = 1，但是为什么呢？这里就需要高等数学的一些知识了。

   前面的区域，以后再来探索吧！

8. f(x) = \cos x \rightarrow f^{\prime}(x) = -\sin(x)

9. f(x) = e^x \rightarrow f^{\prime}(x) = e^x

   \begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x}\\ &= e^x \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\\ \end{aligned}

   前面的区域，以后再来探索吧！

10. f(x) = \ln(x) \rightarrow f^{\prime}(x) = \frac{1}{x}

    前面的区域，以后再来探索吧！

复合函数求导

只需要记住公式就无敌了！

首先我们定义一个方便我们书写的符号，我们定义 y^{\prime}_x= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}

那么大的要来了！

y^{\prime}_x = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}

这就是复合函数的求导公式。我们思考一下 \frac{dy}{du} 的定义，实际上它是表示的是 y 对于 u 的导数。\frac{du}{dx} 同理。

所以我们就有

y^{\prime}_x = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = y_u^{\prime}\times u_x^{\prime}

例2：求 f(x) = \sin 2x 的导函数。

\because y = \sin u ,u = 2x\\ \begin{aligned} \therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \\ &= \cos u \times 2\\ &= 2\cos 2x \end{aligned}

例3：求 f(x) = (2x+1)^6 的导函数

\because y = u^6 ,u = 2x+1\\ \begin{aligned} \therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \\ &= 6u^5 \times 2\\ &= 12(2x+1)^5 \end{aligned}

例4：求 f(x) = \cos x 的导函数

\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} -x) \\ \because y = \sin u ,u = \frac{\pi}{2} - x\\ \begin{aligned} \therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \\ &= -\cos u\\ &= -\cos (\frac{\pi}{2} - x) \\ &= -\sin x \end{aligned}

例5：求 f(x) = a^x(a\in \R) 的导函数。

我们考虑怎么把 a,e 建立关系，有 a = e ^{\ln a}

a^x = e^{x\ln a} \\ \because y = e ^ u ,u = x\ln a\\ \begin{aligned} \therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \\ &= \ln a \times e ^{x\ln a}\\ &= \ln a \times a^x \end{aligned}

特别地，当 a = e 时候 f(x) 导函数等于它本身。

注意这里我们是复合的函数，内外有两层，类比我们判断单调性的时候，我们注意不能犯错。

导数的四则运算

我们发现，如果我们想求一个 f(x) = (ax^2+bx+c)^x ，单靠上面的几个工具我们是无法简单完成的。

加减法

[f(x) + g(x)]^{\prime} = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)

乘法

[f(x)\times g(x)]^{\prime} = f(x)^{\prime}\times g(x) + f(x) \times g(x)^{\prime}

简单好记：两个 f\times g，第一个导在 f，第二个导在 g

除法

\begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)}^{\prime} &= [f(x)\times \frac{1}{g(x)}]^{\prime} \\ &= f(x)^{\prime}\times \frac{1}{g(x)} + f(x)\times {\frac{1}{g(x)}}^{\prime} \\ &= \frac{f(x)^{\prime}}{g(x)} - \frac{f(x)g(x)^{\prime}}{g^2(x)} \\ &= \frac{f(x)^{\prime}{g(x)} - f(x)g(x)^{\prime}}{g^2(x)} \end{aligned}

乘方

\{[f(x)^n]\}^{\prime} = n [f^{n-1}(x)]\times f^{\prime}(x)

例题练习

一定要注意，对一个函数导出来之后的函数依然会结合函数性质（奇函数，偶函数，极值点，零点）进行考察，前两种可以辅助判断，后面两种我们在接下来会讨论到。

例6（较为繁杂的复合函数）：求 f(x) = x - \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} 的导函数。

这题要注意的点是后边的两个三角函数是复合函数，我们不能直接暴力开导。

g(x) = \sin\frac{x}{2},h(x) = \cos\frac{x}{2}\\ g^{\prime}(x) = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2},h^{\prime}(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} \\ f^{\prime}(x) = 1 - \frac{1}{2}(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = 1 - \frac{1}{2}\cos x\\

例7（解析式里有导数类型）：已知 f(x) = 3x^3 - 2f^{\prime}(-1)x + 5，求 f(-2),f^{\prime}(-2)

这类题的思路肯定是让我们先求出 f^{\prime}(x) ，如果我们求出了 f(x) 就好说了。

所以我们直接开导：

f^{\prime}(x) = 9x^2 - 2f^{\prime}(-1)\\ \text{let } x = -1.\\ f^{\prime}(-1) = 9 - 2f^{\prime}(-1)\\ f^{\prime}(-1) = 3. \text{代入上式得到 } f^{\prime}(x) = 9x^2 - 6. \\ f(x) = 3x^3 - 6x + 5

带入就可以得到了。

例8（求切线方程类）：求 f(x) = e^x(x^2-x-1) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程。

这题主要考察对导数图像意义的理解，直接点斜式会缺一个斜率，我们考虑 f^{\prime}(x) 代表的是切线斜率，然后就做完了。

例9（相切类）：f(x) = x + 1,g(x) = \ln x + a 相切，求 a 的值。

凡是遇到相切问题，一定要先设切点。导数是处理切点问题的有力工具

碰到这种我们首先要做的就是先把切点 (x_0,y_0) 设出来，我们考虑满足以下条件：

y_0 = x_0 + 1,y_0 = \ln x + a

我们考虑是 f(x) 的切线，那么 f^{\prime}(x_0) = 1，我们考虑这是条公切线，显然也有 g^{\prime}(x_0) = 1

于是我们先考虑对 g 导一下，就有 g^{\prime}(x) = \frac{1}{x} 这样我们反解出 x_0 = 1,y_0 = 2，带入第二个得到 a = 2

例9.5：求 f(x) = x^x 的导函数。

法1：

\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= x^x\\ &= e^{x \ln x}\\ &= (1 + \ln x) x^{x} \end{aligned}

和例6有异曲同工之妙。

法2：

处理指数问题，我们同样可以运用取对数的思想，取完对数我们两边同时求导。

f(x) = \ln y 的导函数 f^{\prime}(x) 是符合函数，也就是 \ln y \times \frac{dy}{dx}

\ln y = x \ln x \\ \frac{1}{y}\times \frac{dy}{dx} = 1 + \ln x\\ \frac{dy}{dx} = x^x (1 + \ln x)

上边两种的思想都是对复合函数求导，本质相同。

例10:

一些好玩的：研究物理中匀加速运动里 s,v,a 的关系。

我们有如下公式：

s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\\ v = s^{\prime}_t = v_0 + at\\ a = v^{\prime}_t = a\\

也就是说我们有 v = \frac{ds}{dt},a = \frac{dv}{dt}。我们可以给出一个新的定义：

我们称 v 为 s 的一阶导数，a 为 s 的二阶导数。

从物理意义上来说：一阶导数的物理意义：切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

二阶导数的物理意义：函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

利用导数研究函数性质

单调性

我们首先研究单调性，这也是导数的强项。

一般来说，我们有 f^{\prime}(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} > 0 在某个区间 (l,r)（注意此处根据极限一定需要是开区间）成立，则称 f(x) 在 [l,r] 上单调递增。同理，如果 f^{\prime}(x) < 0，则称 f(x) 在 [l,r] 上单调递减。

从几何角度考虑，切线的斜率为正/负反映了函数增长的整个趋势。有了导数，我们就有了这个强有力的判断函数单调性的工具。

接下来我们考虑导数的零点实际上发生了什么？它实际上有两种可能：

1. 单调性发生了改变
2. 分段函数中相等的点

那么我们实际做题中，我们尽量都使用大于等于 0 的判断方法。这样的好处就是避免了很多麻烦，对于分段函数我们直接分段求导就行。

例11：讨论 f(x) = x ^3(x \in \R) 的单调性。

f^{\prime}(x) = 3x^2 \geq 0,x \in \R \\

当且仅当 x = 0 时有 f^{\prime}(x) = 0. 故 f(x) 在 \R 上递增。

要注意的是，导函数大于 0 可以推出 f(x) 递增，但是反过来不能。

通过判断单调性，我们可以研究出函数的图像从而方便我们进行进一步研究。

例12:求函数 f(x) = x^3-3x^2-9x+5 的单调区间。

首先考虑定义域，显然 x \in \R.

那么求导一下。

\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= 3x^2-6x-9\\ &= 3(x^2-2x-3) \end{aligned}

我们可以通过解不等式/列表的方法来做，但是更直观的是画出导函数的草图。标上点就可以，看图说话.jpg。大于 0 的部分就单调递增，小于 0 的部分就单调递减。最后记得写开区间。

例13:求函数 f(x) = \frac{e^x}{x-a}(a<0) 的单调区间。

首先考虑定义域，显然有 x \not ={}= a.

老套路，开导。

\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \frac{e^x(x-a-1)}{(x-a)^2} \\ \end{aligned}

对于这个函数来说，我们实际上要关心的只有 x - a -1 这个东西，注意 x \not = a,我们对三段分开来讨论：(-\infty,a),(a,a+1),(a+1,+\infty).

导数最强的一点就在于，不断把困难的函数问题化为了较为简单的函数问题，方便我们进行研究。

例14:函数 f(x) = \ln x- \frac{1}{2} ax^2 - 2x(a\not = 0) 存在单调递减区间，求 a 的范围。

首先考虑定义域，显然有 x > 0

f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} - ax -2 = \frac{-ax^2-2x + 1}{x}

分母正负性确定，考虑分子在定义域的时候正负性。分类讨论：

1. a > 0，开口向下，对称轴为 -\frac{1}{a} < 0，总存在单调递减区间。
2. a < 0，开口向上，对称轴为 -\frac{1}{a} > 0，需要单调递减就需要 \Delta = 4 + 4a> 0,所以 a \in (-1,0)

这类问题通用解决步骤：

1. 观察函数定义域
2. 对函数求导
3. 画出函数草图判断正负区间

极值点

我们考虑一个函数在最值的时候，导函数为 0。但是这个并不是充要的，所以我们提出一个更强的性质：若 f^{\prime}(x_0) = 0 且 f^{\prime}(x_0) 的符号在 x_0 两侧改变，那么 x_0 就是函数的一个极值点。

从图上看更加形象，就是 f^{\prime}(x) 的图像穿过 x 轴的点，这就是单调性改变的点。我们把最大值/最小值所对应的点，称为极大值/极小值点。由上往下穿过 x 轴的点称为极大值点，由下往上穿过的点称为最小值点。

要注意的是，极值点刻画的是在他这个点附近的点的性质，而不是全局的性质，所以我们不能说极大值点就一定大于极小值点。

例15：求 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1(x\in \R) 的最值。

f^{\prime}(x) = 6x^2 - 6x = 6(x^2-x)

那么图像中，f^{\prime}(0) = 0,f^{\prime}(1) = 0，带进去算一下就能得出最值。

如果给你限定了一个区间呢？

那么还要根据单调区间来进行判断，发现会不会除了已知的极值点之外产生新的值（区间端点），这种需要再进行比较。

通过这个，我们可以整很多有趣的活（讨论复合函数单调性，偶函数奇函数导来导去）。